[MNPBEM] bemstateig.m 으로 얻은 eigenvalues의 차원과 단위는?

0. 소개

MNPBEM은 오스트리아의 Graz 대학교에서 만든 Matlab 코드로 금속나노입자의 전자기적 특성을 시뮬레이션 하는 도구이다. 

"MNPBEM is a toolbox for the simulation of metallic nanoparticles (MNP), using a boundary element method (BEM) approach developed by F. J. Garcia de Abajo and A. Howie, Phys. Rev. B 65, 115418 (2002)."

링크: http://physik.uni-graz.at/mnpbem/

나노입자에 여기되는 Localized Surface Plasmon (LSP) Modes를 보는 데 유용하게 사용된다. 

1. bemstateig.m

이전 글에서 MNPBEM을 이용해서 eigenvalues를 구하는 걸 했었다. 

이전글: [MNPBEM] Eigenvalues 구하기. Boundary-Element Method. Matlab code.

그때 구한 eigenvalues의 차원과 단위에 대해 나름 설명을 했었는데, 확실하지 않은 부분이 있어서 좀 더 알아보았다.

확인을 위해서 코드 제작자에게 직접 이메일로 물어보았다.

Dear Professor Ulrich Hohenester,

When I run a demo file (Demo/dipole/stat/demodipstat1.m) to create a nanoparticle and I additionally run the following lines, I get a list of negative values.

>> bem=bemstateig(p,'nev',10);

>> diag(bem.ene)

ans =

   -6.2832

   -2.0948

   -2.0946

   -2.0943

   -1.2582

   -1.2580

   -1.2579

   -1.2576

   -1.2574

   -0.9024

Would you let me know what are the dimension and the unit of these values? Thank you.

이렇게 물어봤다. 

그랬더니 한 시간쯤 지나서 답이 왔다. 

Dear Yongsop,

these are the eigenvalues of the surface derivative of the Green function which are dimensionless.  For a detailed discussion see e.g. Phys. Rev. B, 2012, 85, 245447, ENE corresponds to lambdak there.

Best regards

Ulrich

역시 모를 때는 직접 물어보는 게 최고다.

2. 논문을 찾아보자

호헤네스터 교수가 보낸 답메일에 2012년 PRB 논문을 찾아보라고 일러주었다. 찾아보자.

2012년에 프랑스에서 발표한 논문이다. 

이 논문의 lambda가 eigenvalues라고 하니까 일단 식 (6)의 lambda를 말하는 것이라고 보면 된다.

이메일에서 lambdak라고 했는데, lambda_k는 논문 어디에도 없으니 lambda_i를 말하는 것 같다. 식 (8)에 보면 lambda_i가 나온다. 

3. 음수?

근데 여전히 음수가 나올 이유는 없어보인다. 

Demo/dipole/stat/demodipstat1.m

>> bem=bemstateig(p,'nev',10);

>> diag(bem.ene)

ans =

   -6.2832

   -2.0948

   -2.0946

   -2.0943

   -1.2582

   -1.2580

   -1.2579

   -1.2576

   -1.2574

   -0.9024

매트랩에서 demo 파일을 열고 bemstateig를 해 보면 위 표처럼 음수로 된 값이 잔뜩 나온다. eigenvalues인 lambda가 음수가 나올 이유는 없어보인다.

아무래도 구한 값을 -2pi에서 나눠야 하는 게 아닌가 싶다. 아래 논문 참고.

Davis, T. J., and D. E. Gómez. "Colloquium: An algebraic model of localized surface plasmons and their interactions." Reviews of Modern Physics 89.1 (2017): 011003. [link]

매트랩에서는 다음과 같이 하면 된다. 

bem=bemstateig(p,'nev',10);

lda = diag(bem.ene);

gmm = -2*pi./lda

gmm =

    1.0000

    2.9994

    2.9997

    3.0002

    4.9938

    4.9946

    4.9951

    4.9962

    4.9969

    6.9624

이렇게 하면 양수로 된 eigenvalues가 쭉 나온다. 이걸 앞으로 gamma라고 부르자. 2012년 PRB 논문과 2017년 Rev. Mod. Phys. 논문의 notation이 좀 다른데, 나는 2017년 논문을 따라가기로 한다. TJ Davis의 논문의 그림 2번을 보면 이렇게 구한 eigenvalues gamma에 해당하는 eigenmodes인 surface dipole distributions를 그려두었다.

Davis, T. J., and D. E. Gómez. "Colloquium: An algebraic model of localized surface plasmons and their interactions." Reviews of Modern Physics 89.1 (2017): 011003. [link]

4. 결론

오늘의 교훈은, 모르면 제작자에게 직접 물어보자. ㅎㅎㅎㅎㅎ

2018년 4월 16일

과꾸로